
\chapter{Complementi di teoria dell'integrazione}
Integrale di una curva regolare a tratti a valori nel campo dei numeri complessi. Integrale di una funzione complessa lungo una curva regolare a tratti e sua interpretazione come coppia di integrali di due forme differenziali associate alla funzione.
Forme differenziali. Integrale di una forma differenziale su una curva. Invarianza dell'integrale di una forma differenziale rispetto alle riparametrizzazioni che conservano l'orientamento. Differenziale di una funzione di due variabili. Forme differenziali esatte.
Primitiva di una forma differenziale esatta. Integrale di una forma differenziale esatta.
Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Aperti semplicemente connessi. Esatezza delle forme differenziali di classe C1 chiuse su un aperto semplicemente connesso (nodim).


\section{Integrale di una curva regolare a tratti a valori nel campo dei numeri complessi.}


\section{Integrale di una funzione complessa lungo una curva regolare a tratti e sua interpretazione come coppia di integrali di due forme differenziali associate alla funzione.}
\label{int:fun_curva_tratti}
\begin{definizione}
Integrale di funzione lungo una curva $\gamma$:
\[ \int_{\gamma} f(z) \diff{z} \overset{\text{def}}{=} \intd{a}{b}{ f( \gamma(t)) \cdot\dot{\gamma}(t)}{t} = \intd{a}{b}{\Re(g(t))}{t} + \intd{a}{b}{\Im(g(t))}{t}\]
dove la funzione integranda $g(t)= f(\gamma(t)) \cdot\dot{\gamma}(t)$ è il prodotto in $\C$ con il vettore derivata $\dot{\gamma}(t)$.
Ho due componenti, la parte reale e la parte immaginaria:
\[f(z) = u(x) + \imath v(z)\]
\[\gamma(z) = \gamma_1(z) + \imath \gamma_2(z) \\ \dot{\gamma}(z) = \dot{\gamma_1}(z) + \imath \dot{\gamma_2}(z)\]
L'integrale si può scrivere quindi come
\[ \intd{a}{b}{ \big( u(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma_1}(t) -  v(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma_2}(t) \big) + \imath \big( u(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma_2}(t) +  v(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma_1}(t) \big)}{t}  =  \]
\[\intd{a}{b}{ \big( u(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma_1}(t) -  v(\gamma(t)) \cdot \dot{\gamma_2}(t) \big)}{t} + \]\[
 +\imath \intd{a}{b}{ \big( u(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma_2}(t) +  v(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma_1}(t) \big)}{t} \in \C\]
\end{definizione}

\section{Forme differenziali.}
\begin{definizione}
Definendo le forme differenziali complesse (con $z=x+\imath y$)
\[ w_1 = u(z) \diff{x} -v(z) \diff{y} \\
w_2 = v(z) \diff{x} +u(z) \diff{y}  \]
\[\int_{\gamma}{w_1}=\intd{a}{b}{u(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma_1}(t) -v(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma_2}(t)}{t} \]
\[\int_{\gamma}{w_2}=\intd{a}{b}{v(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma_1}(t) +u(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma_2}(t)}{t}\]
\end{definizione}
\section{Integrale di una forma differenziale su una curva.}
\begin{definizione}
L'integrale di una forma differenziale non dipende dalla parametrizzazione a meno del verso. Si ha in definitiva che l'integrale di una funzione continua $f(z)=u(z)+\imath v(z)$ lungo una curva $\gamma$ è
\[ \int_{\gamma}{f(z)\diff{z}} = \int_{\gamma}{w_1}+\imath\int_{\gamma}{w_2} \]
\end{definizione}
\section{Invarianza dell'integrale di una forma differenziale rispetto alle riparametrizzazioni che conservano l'orientamento.}
\begin{osservazione}
Una qualunque riparametrizzazione della curva $\gamma$ con lo stesso orientamento lascia invariato l'integrale della funzione $f$ calcolato sulla curva.

$\tilde{\gamma}$ riparametrizzazione di $\gamma$
\[ \int_{\tilde{\gamma}}{f(z)\diff{z}}= \int_{\tilde{\gamma}}{w_1} + \int_{\tilde{\gamma}}{w_2} = \int_{\gamma}{f(z)\diff{z}}\]
\end{osservazione}
\begin{osservazione}
$\tilde{\gamma}$ riparametrizzazione di $\gamma$ di orientamento opposto
\[ \int_{\tilde{\gamma}}{f(z)\diff{z}}= -\int_{\tilde{\gamma}}{w_1} - \int_{\tilde{\gamma}}{w_2} = -\int_{\gamma}{f(z)\diff{z}}\]
\end{osservazione}

\section{Stima del modulo dell'integrale di una funzione su una curva.}
\begin{osservazione}
\'{E} possibile stimare il modulo dell'integrale su una curva
\[ \abs{ \int_{\gamma}f(z)\diff{z}} \\ \sigma\colon[a,b]\to\C , \sigma\in C([a,b]) \]
\[ \abs{ \intd{a}{b}{ \sigma(t)}{t} }\leq  \intd{a}{b}{ \abs{\sigma(t)}}{t}\]

\[ \abs{ \int_{\gamma}f(z)\diff{z}} = \abs{ \intd{a}{b}{ \big(f(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma}(t)\big)}{t} }\leq  \intd{a}{b}{ \abs{ f(\gamma(t))\cdot\dot{\gamma}(t) }}{t}=\]
\[ =  \intd{a}{b}{ \abs{ f(\gamma(t))}\cdot\abs{\dot{\gamma}(t) }}{t} \leq  M \underbrace{\intd{a}{b}{ \abs{\dot{\gamma}(t) }}{t}}_{\text{lunghezza curva $\gamma$}}= M\cdot L(\gamma)\]
dove $M=\max_{t\in[a,b]}\abs{f \circ \gamma} $
\end{osservazione}

\section{Differenziale di una funzione di due variabili.}
\section{Forme differenziali esatte.}
\section{Primitiva di una forma differenziale esatta.}
\section{Integrale di una forma differenziale esatta.}
\section{Caratterizzazione delle forme differenziali esatte.} 
\section{Forme differenziali chiuse.}
\section{Aperti semplicemente connessi.} 
\section{Esatezza delle forme differenziali di classe C1 chiuse su un aperto semplicemente connesso (nodim).}